老师课堂 | 用数学归纳法找通项公式的思路
2022-09-21 正领国际教育

最近有同学问我一道数学归纳法的题,稍微有点难度,感觉有必要给同学们分享一下:

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题目的意思很明白,给出an和bn两个数列的公式,其中bn是用an表示的,计算bn的前4项并猜想bn的通项公式(这里很显然是要求不再用an表示的),并用归纳法证明。

首先bn的前4项很简单,这里直接给出来:

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如果能根据这4项的规律猜出bn的通项公式,用归纳法证明也是很简单的,证明的过程我们也省略掉,同学们可以自己练习。现在关键就是,bn的通项公式不好猜,从这前4项好像看不出什么规律。实际上,把bn的前10项写出来,似乎也不容易看出规律:

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所以这个题要换一下思路,不能盯着数字硬想,我们尝试从bn和an的关系式下手,一个比较容易看出来的特征是:

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变形一下:

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这个地方需要一些经验,要能够想到这个分式可以变成:

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这样变形是因为如果把分子上的n换成n-1,分子就变成了分母,看起来像是bn和b(n-1)的关系,但计算一下就会发现现在的分子(n+2)/(n+1)并不是bn的通项公式,所以要再修改,我们把(n+2)/(n+1)代入n=1,2,3,4的结果与bn比较一下:

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这样就很明显看出,bn行的数都是(n+2)/(n+1)行的一半,所以我们猜想:

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再验证更多的n,也是符合的。
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