微积分夜市已出摊
2020-08-05 正领国际教育

上一篇文章最后提到了有大量函数的不定积分不能用初等函数表示,或者通俗地说,很多函数的积分是“积不出来”的。如果放眼整个函数库,“积不出来” 的情形要比 “积得出来” 的更多。

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先尝试求不定积分,做一次替换,

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可惜右边的函数依然 “积不出来”

那是不是不定积分求不出来,定积分就一定没法算呢?答案是未必。

再看一下它的定积分,

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神奇的事情来了,

右边这个定积分竟然是可以算的!

我们目前所学的知识还不到位,必须要借助高深的大学数学的方法。如果你的目标只是应付考试,那么今天的内容你可以忽略。但如果你想走进大学数学的大门,了解数学分析究竟是怎样的,进而领略数学的美,我相信,读完今天的文章对你一定是有帮助的

狄利克雷积分

Dirichlet Integral

这是一个很有名的广义积分:

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在很多领域有着重要应用

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广义积分是对普通定积分的推广,就像这种含有无穷上限或者下限的积分,我们称为无穷限广义积分, 它的收敛性是需要证明的。

狄利克雷判别法

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1、多重积分方法

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2、复变函数方法

相比第一种方法,第二种方法可能更深奥一点,其实它的思路就和高数中complex summations类似,即我们在求实函数的定积分时,可以转化成求复函数的曲线积分,最后取实部或虚部。

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今天介绍的两种方法,大家都看懂了吗?

看懂的话那恭喜你

你已经具备进入数学系的潜质啦!

看不懂也没关系

最起码你把结论记住

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平时和小伙伴们吹吹牛装装b还是可以的。当然除了上述两种之外,还有更多的方法,如Fourier变换、Laplace变换等,感兴趣的小伙伴可自行查阅文献。

高中数学和大学数学最大的区别在于,高中数学着重于计算,只要会做题目就万事大吉,而大学数学放眼于分析和证明,即便掌握了一个命题的证明思路,那也是最基本的要求,还要尽最大努力去揣摩这些命题的证明思路是怎么想到的。

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