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◎A-LEVEL数学考的是技能，不是原理。

说通俗点就是，人家考的是你会不会算，而不是你知不知道为什么要这样算。

这与很多家长和同学长久以来的想法多少有些冲突。一直以来我们对数学的理解是：这是一门抽象的学科，对逻辑思维能力要求很强，不“聪明”是学不好数学的。事实上，抽象没错，需要逻辑思维也没错，但这并不决定它一定要用很费脑子的方法去学。决定数学应该怎么学的，应该是目的。而我们学习A-LEVEL数学的目的，就是应试。

就拿微积分来说，这是A-LEVEL数学中占比重最大的部分了，也是最核心的部分。微积分的理论基础是极限，导数是因变量变化量与自变量变化量比值的极限，积分是曲边梯形近似分割成的小矩形面积的极限，极限理论无疑是微积分的基本原理。在国外各种版本的A-LEVEL数学教材中，讲微积分必然要用到极限，这是根本绕不开的。可以说，如果把极限理论掌握得很透彻，理解微积分是基本没有问题的。然而，历年A-LEVEL数学真题，从来没有考过微积分的极限原理。

CIE纯数1考试大纲微分部分如下描述：“the technique of differentiation from first principles is not required”----无需掌握微分原理。

不是说原理不重要，而是，A-LEVEL数学是一门工具学科，即使不懂得原理，依然可以使用。对微分来说，我们只要知道导数代表切线斜率，代表变化率，会套用各种公式和法则求导数，对积分来说，我们只要知道它可以用来计算曲线下方面积，对给出的曲线会套公式计算不定积分，会代入上下限相减计算定积分，会根据曲线在x轴上下方判断面积正负，会把面积拆成几个部分相加减…就可以应对所有微积分的题目。而这些，都属于实际操作能力层面的要求，不涉及极限原理。当然，原理也不是说可以一点不懂，在现阶段，知道是怎么回事就够了，不需要研究得很深。就好比学开车，我们知道打火挂挡松手刹踩油门就行了，车就能走。至于原理，我们知道车能走是因为发动机的工作，汽油燃烧推动活塞带动传动轴…好了，对一个学开车的人来说，他知道这么多就可以了，不需要再深究，因为他不是学修车。深究原理是好事，对开车也确实有帮助，但最终决定你能不能拿证的，还是你的操作是否熟练规范，有没有把油门当成刹车去踩。

对微积分和其他数学分支来说，A-LEVEL考试看的是你会不会直接套用公式，会不会变形使用公式，会不会整体代入，会不会借用一个公式得到另一个公式。只要会这些，以后在物理，化学，生物，经济等其他领域需要进行某种计算的时候，你就能直接拿过来算，不需要再另花时间研究怎么算的问题，这就是工具学科的意义。国内大学理工科专业学过高等数学的学生都知道，高等数学主要是用来给本专业提供计算方法的，能让自己在物理书上见到一个积分公式的时候不至于一头雾水。然而在数学专业，并不开设高等数学这门课，取而代之的是一门叫做数学分析的基础课，数学分析侧重原理，除计算外更多的是研究积分的定义以及可以积分的条件。一种有趣的现象是，数学专业的学生在具体计算方面经常不如其他理工科学生熟练，因为后者每天都在重复高等数学中的计算。A-LEVEL数学更像是高等数学的性质。

所以，除非是对数学理论特别感兴趣，真心痴迷，或者目标就是要考数学专业的同学，在熟练掌握应试解题技巧的基础上，可以根据自己的兴趣去深入研究理论，去拓展，去思考，相信大家都会支持，这时课堂上的教材是远远不够的，课外浩如烟海的数学书籍才是遨游的天地，但前提是，先保证自己能从容应对即将面临的考试。对其他同学来说，现在真的不是打破砂锅问到底的时候，在知识储备不足的情况下，深究原理会导致学习方向偏失，分散精力，干扰备考，会出现“懂的越少，想的越多”的现象，做题时总是发散思维，设想把题目的条件换成别的会怎么样，结果是题没做出来，也没想出什么新的理论，根本没有意义。

◎掌握知识点，跟会做题，是两码事。

经常有家长跟我说：王老师，你再帮我家孩子看看哪些知识点还没掌握，帮他梳理一下。这一般出现在某次测验或者考试之后，家长看到自己孩子没考好，比较着急。心情可以理解，但是认识上有误区。学生缺的不是知识点，缺的是熟练度。说实话，真的只是把书上的知识点单独列出来的话，根本没多少东西，那两张薄薄的公式表就是例子。知识点的主要体现形式无非就是公式嘛。我们都知道，A-LEVEL数学考试是有公式表的，需要什么公式直接看就行了，不需要背，这跟体制内的考试相比简直幸福死了。然而就是这样，做不对题的照样大有人在！究其原因，是多方面的，我以自己平时带学生的切身感受，举几个实际的例子：

1.一堆公式摆在眼前，挑不出来该用哪个。

这时候往往是这样的：这个题我要算standard deviation（标准差，S1知识点），公式表上居然有四个标准差公式！然后就开始纠结到底该用哪个。这是典型的混淆。事实上不同的标准差公式是在不同情况下用的，分别对应离散数据，分组数据，概率分布列和二项分布。看不出来该用哪个，说明平时练得太少，在某种情况下反应不过来对应的公式。说真的，不是懂不懂的问题，就是练得太少反应不过来。标准差公式为什么是这样算人家根本就不考，人家就管你会不会算。

还有一个典型的例子是二倍角的余弦公式cos2A（P3知识点），这个公式有三种形式，公式表上都有，用的时候是可以互相转化的，就算不知道可以互相转化，一个不行再换另一个试，再不行再换！肯定有一个能试出来是可以用的。然而，很多同学就是因为第一次选的公式不好用，看不出来怎么继续往下做，就开始表现各种“不适”：头痛，犯困，焦虑…就是想不到换公式，其实只要换一个公式就能看出来，有些项可以消掉，然后就知道下面怎么做了。这不是公式或者知识点的问题，是做题习惯的问题，意识不到可以换公式。如果平时练习够多，就会经常遇到选错公式卡住的情况，但也会马上反应过来要换公式，因为换的次数多了自然就记住了。说到底还是熟练度的问题，有没有形成条件反射，跟公式的掌握没有关系。

2.就算知道该用哪个公式，照样不会用。

公式运用不灵活。一种情况是不会变形使用公式，比如a+b=c，可以变成b=c-a，这是最基本的移项，直接讲出来谁都明白，但做题的时候就是未必能反应过来。常见的有

（P1知识点），经常变成

还有

（P3知识点）经常变成

这与是否理解公式绝无关系，就是看你平时练的够不够多，练够了自然就能反应过来，练不够就想不到，没什么好说的。另一种情况是不会整体代入，这也属于基本功，比如ax这个式子，把x=b+c代入应该变成a(b+c)而不是ab+c，这是上过初中的学生都该有的常识，按说是不应该再反复讲的，但真就有不少学生老忘了加括号，别笑，举例子都是很简单的，实际做题的时候表达式都是又长又复杂，括号都有好几层，忘了加括号是经常出现的状况，就看你有没有练出好的习惯，比如先打括号再写里面的东西。

公式里面的字母只是一个符号，是可以任意换的。我经常遇到这种情况：学生做题时出现sin2x（P3知识点），他知道这是一个公式，于是在公式表上找，找半天愣是没找到，其实公式表上明明是有的，什么原因呢？因为他一直在找sin2x，但公式表上写的是sin2A，只不过是用了不同的字母而已，公式还是同一个。你说这哪是什么知识点的问题？还有的是看到sin2x知道看公式表变成2sinxcosx，但是反过来看到sinxcosx就不知道该怎么办了，其实还是同一个公式，只不过把右边的2除到左边去，至于能不能想到，全靠条件反射，看你平时sinxcosx见的次数够不够多。反正公式就在那放着，课本上也有，真题册上也有，笔记上也有，网上也有，你平时不碰，那没办法。

3.根本不知道公式表上有这个公式。

做题的时候看到sin2x，完全没思路，压根不知道这是公式表上的一个公式，这是下课把所有东西扔一边一眼不看的典型结果，这没什么好说的，不是梳理知识点能救得了的。

4.过度依赖公式表。

平时真的练够了的话，其实是不需要翻公式表查公式的，因为公式翻来覆去就那几个，整天用整天用能记不住吗？说实话，老师做题是很少看公式表的，当然是因为老师把公式都记住了。老师能记住公式是因为老师比学生聪明吗？还是老师研究公式比学生透彻？都不是，老师能记住公式是因为老师每天上课都在用这个公式，如果老师半年不碰公式，该忘的照样会忘。对学生来说，刚开始学某个公式，需要看公式表才能想起来是很正常的，但是如果直到大考前还必须要依赖公式表，那肯定是要影响做题效率的，并且经常伴随其他因为不熟练带来的一系列问题，比如不能及时选出合适的公式，变形和整体代入不熟练，这时候给人的感觉就是：明明要用的公式都给了，还是不会做题。说到底，就是练得少。

更危险的是，公式表上的公式并不全。比如关于对数log和ln（P3知识点）的公式，公式表上是没有的，但这却是最常用的公式之一，课本上有，课上老师都会讲，网上也可以查到，就是不在公式表上，原因咱没有必要去关心，只需要知道，有些公式就得靠自己记，不能光指望公式表。

还有就是，公式表上只有公式，没有解题方法。解微分方程（P3知识点）第一步是分离变量，然而这只是个步骤，不是公式，公式表上不写这个。这就意味着，你知道就会做，不知道就不会做。平时不知道可以问，考试才发现不知道的话，没人能救。

◎粗心失误是非常严重的问题，不是小事！

前面说过，掌握知识点不代表会做题，还有一个普遍的原因，就是公式方法都会，却粗心失误了。粗心失误的表现可谓五花八门，计算错误只是最常见的一种。如果只是因为算的数过于繁杂导致算错了，那倒也没什么，以后仔细点就是了，毕竟人手工算的都难免出错，老师也避免不了。不管怎样，算错应该是少数情况，多数情况都能算对才是正常的。但有些学生只要动手计算就肯定要错，失误率极高，那就是习惯问题，长期使用错误的或者不规范的方法导致。例如前面说过的把x=b+c代入ax的例子，如果不养成立即加括号的习惯，后面算错是十有八九的。在连续使用分部积分公式（P3知识点）时，这种现象尤其明显，因为括号有很多层，还有很多负号和系数，漏一半括号后面基本上就完了。以上属于规范性方面的习惯，还有一个重要的习惯是书写清晰。我们要搞清楚一件事，书写清晰不是为了美观，是为了让自己和别人能准确辨认你写的到底是什么。由于自己书写潦草，把i看成1，把z看成2，导致后面跟着算错的情况，我见得太多了。你说这跟知识点有什么关系，纯粹是意识问题，看自己够不够重视，是不是拿这些细节当回事儿，老师可以课上提醒强调，但是不可能整天跟着手把手教你怎么写字，习惯问题只能靠自己改。其他类似的问题比如抄错符号，抄多，抄漏，甚至一些叫不出名来的错误，如果不是亲眼见过都想象不到的那种，根本都没法说。你说这怎么说呢？把油门当刹车踩了，没什么好说的，踩错了就是踩错了，就是练得太少没养成正确的习惯，紧急时刻反应不过来，难道是因为不理解左刹车右油门这个知识点吗？

还有一个粗心失误的重灾区，计算器！曾经我跟一个家长聊，我说她孩子粗心算错的情况比较多，她很疑惑地说不会吧，我看我家孩子都是拿计算器做题的呀。

天真！

计算器确实是百分之百的正确率，但前提是，你要摁对。你把错误的式子摁进去，计算器就会百分之百地输出错误结果，这个锅计算器不背。那正确的式子哪来的呢？是你自己读题写出来的，这个计算器替不了你。

就算写出正确的式子，你也要小心按键。按键最容易出的状况就是没按到底，没输进去，但自己不知道。这就要求摁计算器的时候不要太急，要盯着屏幕，确认自己摁的没错。这是纯习惯问题，有这个习惯就不会摁错，没有就可能摁错，就这么回事。课本上是不会写这种东西的。就算摁对了，计算器给出了正确的结果，照样是可以写不对的，你猜猜什么原因？嗯，把计算器显示的结果抄到纸上的时候抄错了。这个咱就不多说了，真没什么好说的。

另一个方面的问题是过度依赖计算器，这比依赖公式表后果严重多了。有的学生无论多么简单的算式都用计算器，时间长了就把通分，约分，化简繁分式，解二次方程，特殊角的三角函数值等基本能力退化掉了。最恐怖的，20以内的加减法口算都有困难，这是我早前遇到过的活生生的案例，上国际高中的学生，还不止一个，简直触目惊心！

审题失误也是粗心失误界的一大主流。很长的题目可以略读，只挑出有用的信息，但那是在你能读懂题目，确实知道哪些有用哪些没用的前提下。否则还是老老实实逐字读完，以防漏掉重要信息。如果英语阅读功底不够，读不懂题目中的长难句，那还是先补一下语法，练好断句，把长句拆开就能看明白了。如果是单词的问题，数学专业词汇不认识，比如reflex angle，那就去查，反正手机也有，电脑也有，查就是了，查了也不明白的，找老师问，办法多得很。最怕的是那种根本不是英语不好导致的审题失误：看错，看漏数字符号，这种情况就算换成中文题目该看错的照样看错。

◎怎么办？

练。没什么好说的，就是练。知识点老师都讲过，走神没听清的，忘了的找老师问，老师会给你重复，这都没问题。但是你自己不动手做题，全白搭。只有在自己做题的过程中，把可能出现的粗心失误和细节问题暴露出来，才能避免它们出现在正式考试中。当然，这需要自觉，需要自制，需要持续付出时间精力。大道理就不讲了，都懂。啰嗦这么多，希望对孩子学习有帮助。